東大2020理系2

問題：

A, B, C を平面上の 3 点とし、△ABC = 1 とする。この平面上の点 X が

2 ≦ △ABX + △BCX + △CAX ≦ 3

を満たしながら動くとき、X の動きうる範囲の面積を求めよ。

発想：

S(X) = △ABX + △BCX + △CAX とおく。

点 X が三角形 ABC の内部および周上にある場合は S(X) = △ABC = 1 より不適であるから、点 X が三角形 ABC の外部にある場合のみ考えればよい。

三角形 ABC の外部は 6 つの領域に場合分けでき、それぞれについて領域を求める。

面積は三角形 ABC との相似比から求められる。

解答：