東大2020理系4 - intlog’s blog

問題：

$1 \le k \le n$ を満たす整数 $n, k$ に対し、

$a_n = \sum_{S \in \{0, 1, ..., m-1\}, |S| = k} \prod_{i \in S} 2^i$

と定める。

(1) $a_{n, 2} (n \ge 2)$ を求めよ。

(2) $f_n(x) = 1 + a_{n, 1}x + a_{n, 2}x^2 + \dots + a_{n, n}x^n (n \ge 1)$ とする。 $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}, \dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}$ を $x$ についての整式として表せ。

(3) $\dfrac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}$ を $n, k$ で表せ。

発想：

(1) 規則性に注目して計算。

(2) $f_{n+1}(x)$ を $f_{n}(x)$ で表す。そのために $a_{n+1, k}$ についての漸化式を考える。

(3) $a_{n, k}$ が $f_n(x)$ の $x^k$ の係数であることに注目すると、恒等式の係数比較により $a_{n+1,k+1}$ と $a_{n,k}$ の関係式が得られる。

解答：

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