東大2020理系3 - intlog’s blog

問題：

$-1 \le t \le 1$ を満たす実数 $t$ に対して、

$x(t) = (1+t)\sqrt{1+t}, \quad y(t) = 3(1+t)\sqrt{1-t}$

とする。座標平面上の点 $P(x(t), y(t))$ を考える。

(1) $-1 \lt t \le 1$ における $t$ の関数 $y(t) / x(t)$ は単調に減少することを示せ。

(2) 原点と $P$ の距離を $f(t)$ とする。 $-1 \le t \le 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ、最大値を求めよ。

(3) t が $-1 \lt t \le 1$ を動くときの $P$ の軌跡を $C$ とし、 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする。原点を中心として $D$ を時計回りに 90°回転させるとき、 $D$ が通過する領域の面積を求めよ。

発想：

(1), (2) は微分するだけ。

(3) は (1), (2) よりグラフの概形がわかる。

求める面積はDの面積と四分円の面積の和となることに注目。

積分は(1+t)^(3/2)(1-t)^(1/2)とまとめるより解答のようにするほうが楽らしい。

解答：

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