問題： 上智2005の問題らしいが学部は不明。 発想： 最大・最小と言われたのでまずは微分してみるが手がかりがつかめない。 a,bの値がわからなければグラフも書けないので、別のアプローチを考える。 題意を言い換えると、 「f(x) の最大値が 3 かつ最小値が…

問題： を満たす整数 に対し、 と定める。 (1) を求めよ。 (2) とする。 を についての整式として表せ。 (3) を で表せ。 発想： (1) 規則性に注目して計算。 (2) を で表す。そのために についての漸化式を考える。 (3) が の の係数であることに注目すると…

問題： を満たす実数 に対して、 とする。座標平面上の点 を考える。 (1) における の関数 は単調に減少することを示せ。 (2) 原点と の距離を とする。 における の関数 の増減を調べ、最大値を求めよ。 (3) t が を動くときの の軌跡を とし、 と 軸で囲ま…

問題： A, B, C を平面上の 3 点とし、△ABC = 1 とする。この平面上の点 X が 2 ≦ △ABX + △BCX + △CAX ≦ 3 を満たしながら動くとき、X の動きうる範囲の面積を求めよ。 発想： S(X) = △ABX + △BCX + △CAX とおく。 点 X が三角形 ABC の内部および周上にある…

問題： 1辺の長さが1の正方形ABCD 辺 AB, AD, AC 上に点 P, Q, R を取る △APQ = △PQR = 1/3 のとき、DR/AQ の最大値、最小値を求めよ。 発想： AQ=x とおき、DR/AQ を x の関数で表す。あとは増減表。 線分の長さの範囲を x に反映することに注意。 解答：

問題： この問題は QuizKnock でも取り上げられている。 発想： (1) はユークリッドの互除法。(2) は (1) を活用。 n^2 の mod 4 が 0 または 1 であることを知っていると便利。 n^2 + 1 が平方数でないことを n^2 < n^2+1 < (n+1)^2 を用いて示せるのは初見…

問題： 発想： 定積分の計算問題。まずは展開して各項につき慎重に計算する。ただし √1+x^2 を含む項については同じ置換が使えるのでまとめておくと楽。動画ではもう少し技巧的な解き方をしている。 解答：

問題： 発想： 条件1からbをaで表せる。 条件2「格子点がただ１つ領域内に含まれる」は、「どの格子点が含まれどの格子点が含まれない」という形に同値変形。 解答：

問題： 1辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、PをABの中点とし、点Qが辺AC上を動くとする。このとき、cos∠PDQの最大値を求めよ。 発想： ベクトルを用いる。内積の定義よりcos∠PDQを式で表現。あとは微分して増減表。 解答：