intlog’s blog

数学の問題メモ。

上智2005

大学入試関数最大最小不等式

問題：

上智2005の問題らしいが学部は不明。

発想：

最大・最小と言われたのでまずは微分してみるが手がかりがつかめない。

a,bの値がわからなければグラフも書けないので、別のアプローチを考える。

題意を言い換えると、

「f(x) の最大値が 3 かつ最小値が 1/3」

⇔「 $1/3 \le f(x) \le 3$ がすべての x について成立し、かつ両端の等号を満たすような x がそれぞれ存在する」

不等号が常に成立する条件と言えば判別式。さらに、等号を満たすような x が存在するという条件は結局、 $g(x) \ge 0$ の形に整理したとき、 $g(x) = 0$ の判別式が 0 という意味なのだとわかる。

解答：

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東大2020理系4

大学入試数列整数

問題：

$1 \le k \le n$ を満たす整数 $n, k$ に対し、

$a_n = \sum_{S \in \{0, 1, ..., m-1\}, |S| = k} \prod_{i \in S} 2^i$

と定める。

(1) $a_{n, 2} (n \ge 2)$ を求めよ。

(2) $f_n(x) = 1 + a_{n, 1}x + a_{n, 2}x^2 + \dots + a_{n, n}x^n (n \ge 1)$ とする。 $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}, \dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}$ を $x$ についての整式として表せ。

(3) $\dfrac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}$ を $n, k$ で表せ。

発想：

(1) 規則性に注目して計算。

(2) $f_{n+1}(x)$ を $f_{n}(x)$ で表す。そのために $a_{n+1, k}$ についての漸化式を考える。

(3) $a_{n, k}$ が $f_n(x)$ の $x^k$ の係数であることに注目すると、恒等式の係数比較により $a_{n+1,k+1}$ と $a_{n,k}$ の関係式が得られる。

解答：

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東大2020理系3

大学入試微分積分

問題：

$-1 \le t \le 1$ を満たす実数 $t$ に対して、

$x(t) = (1+t)\sqrt{1+t}, \quad y(t) = 3(1+t)\sqrt{1-t}$

とする。座標平面上の点 $P(x(t), y(t))$ を考える。

(1) $-1 \lt t \le 1$ における $t$ の関数 $y(t) / x(t)$ は単調に減少することを示せ。

(2) 原点と $P$ の距離を $f(t)$ とする。 $-1 \le t \le 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ、最大値を求めよ。

(3) t が $-1 \lt t \le 1$ を動くときの $P$ の軌跡を $C$ とし、 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする。原点を中心として $D$ を時計回りに 90°回転させるとき、 $D$ が通過する領域の面積を求めよ。

発想：

(1), (2) は微分するだけ。

(3) は (1), (2) よりグラフの概形がわかる。

求める面積はDの面積と四分円の面積の和となることに注目。

積分は(1+t)^(3/2)(1-t)^(1/2)とまとめるより解答のようにするほうが楽らしい。

解答：

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東大2020理系2

大学入試平面図形

問題：

A, B, C を平面上の 3 点とし、△ABC = 1 とする。この平面上の点 X が

2 ≦ △ABX + △BCX + △CAX ≦ 3

を満たしながら動くとき、X の動きうる範囲の面積を求めよ。

発想：

S(X) = △ABX + △BCX + △CAX とおく。

点 X が三角形 ABC の内部および周上にある場合は S(X) = △ABC = 1 より不適であるから、点 X が三角形 ABC の外部にある場合のみ考えればよい。

三角形 ABC の外部は 6 つの領域に場合分けでき、それぞれについて領域を求める。

面積は三角形 ABC との相似比から求められる。

解答：

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1/(sin(x)+cos(x)+1) の積分

積分

こちらの動画で取り上げられていた問題。

動画では tan(x/2)=t とおいて解いているが、もっと計算量の少ない方法があったので記録しておく。

分母を sin(x) と cos(x)+1 に分けるのがポイント。それぞれに2倍角・半角の公式を適用し、tan(x/2) の式に揃える。tan(x/2) の微分には 1/2 が出てくることに注意。

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東大2019理系2

大学入試平面図形微分

問題：

1辺の長さが1の正方形ABCD

辺 AB, AD, AC 上に点 P, Q, R を取る

△APQ = △PQR = 1/3 のとき、DR/AQ の最大値、最小値を求めよ。

発想：

AQ=x とおき、DR/AQ を x の関数で表す。あとは増減表。

線分の長さの範囲を x に反映することに注意。

解答：

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東大2019理系4

大学入試整数問題

問題：

この問題は QuizKnock でも取り上げられている。

発想：

(1) はユークリッドの互除法。(2) は (1) を活用。

n^2 の mod 4 が 0 または 1 であることを知っていると便利。

n^2 + 1 が平方数でないことを n^2 < n^2+1 < (n+1)^2 を用いて示せるのは初見だった。

解答：

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